4. ABCD — прямоугольник; точки A₁, B₁, C₁, D₁ — середины его сторон, что отмечено на чертеже. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — ромб.

Обозначим длины сторон прямоугольника через AB = CD = a и BC = AD = b.

По теореме о средней линии треугольника, в треугольнике ABC отрезок A₁B₁ равен половине диагонали AC: A₁B₁ = AC/2. Аналогично, B₁C₁ = BD/2, C₁D₁ = AC/2, D₁A₁ = BD/2.

Диагонали прямоугольника равны, поэтому AC = BD. Значит, A₁B₁ = B₁C₁ = C₁D₁ = D₁A₁. Четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ имеет все стороны равными, следовательно, это ромб.