3. ABCD — трапеция, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Дано: AO = OD. Докажите: AB = CD.

Так как BC ∥ AD, треугольники AOD и COB подобны: их вертикальные углы при O равны, а углы при основаниях равны как накрест лежащие.

Из подобия следует пропорция AO / OD = DO / OB. По условию AO = OD, поэтому DO = OB.

Треугольники AOB и DOC равны по двум сторонам и углу между ними: AO = OD, OB = OC (из подобия и AO = OD) и ∠AOB = ∠DOC как вертикальные. Значит, AB = CD.

Ответ: AB = CD.