9. ABCD — трапеция, BC ∥ AD. Точка E лежит на продолжении AD за A; прямая EC пересекает AB в точке O. По отметкам AO = OB; ∠EBC? На рисунке угол между BC и EC равен 30°, а угол между AB и AD равен 60°, EC ⟂ CD. Дано: AD = 15. Найдите периметр трапеции.

На рисунке отмечен угол 30° между BC и EC, угол 60° между AB и AD, а также EC ⟂ CD; O — середина AB.

Пусть AB = L. Из угла 60° высота трапеции равна (√3 / 2)L, а горизонтальная проекция AB равна L / 2. Поскольку O — середина AB, высота O над основанием равна (√3 / 4)L. Прямая EC образует с основанием угол 30°, поэтому горизонтальное расстояние от E до O равно 3L / 4.

Так как O находится на половине AB, координата C по горизонтали равна L. Из EC ⟂ CD и угла 30° между EC и основанием следует, что CD образует с основанием угол 60°. Его горизонтальная проекция равна L / 2. Значит, AD = L + L / 2 = 3L / 2.

По условию AD = 15, откуда L = 10. Следовательно, AB = CD = 10, а BC = L − L / 2 = 5.

Периметр равен AB + BC + CD + AD = 10 + 5 + 10 + 15 = 40.

Ответ: периметр трапеции равен 40.