8. ABCD — трапеция, BC ∥ AD. Дано: ∠ABC = 135°, ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°, AD = 30. Найдите BC.

Так как ∠BCD = 90°, CD перпендикулярна основаниям. В треугольнике BCD угол C равен 90°, а угол D равен 45°, значит, угол B также равен 45° и BC = CD.

Треугольник BCD — равнобедренный прямоугольный. Его горизонтальный катет BC равен горизонтальному отступу от B до D. Из ∠ABC = 135° следует, что боковая сторона AB образует с основанием AD угол 45°, поэтому её горизонтальный сдвиг равен высоте CD.

Иными словами, если BC = x, то горизонтальный отрезок от A до проекции B на AD равен 30 − x, а высота равна x. Угол при B равен 135°, значит, 30 − x = x; отсюда x = 15.

Ответ: BC = 15.