3. ABCD — трапеция. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O; на чертеже отмечено, что AO = OD. Доказать: AB = CD.

Из AO = OD следует, что треугольник AOD равнобедренный, поэтому ∠OAD = ∠ADO.

Так как BC ∥ AD, углы ∠OAD и ∠OCB равны как накрест лежащие. Углы ∠ADO и ∠OBC также равны как накрест лежащие. Следовательно, ∠OCB = ∠OBC, а значит, в треугольнике BOC равны противоположные этим углам стороны: OB = OC.

Рассмотрим треугольники AOB и DOC. ∠AOB = ∠DOC как вертикальные, а ∠OAB = ∠ODC как накрест лежащие при BC ∥ AD. Треугольники подобны. Поскольку AO = OD, коэффициент подобия равен 1, откуда AB = CD.

Ответ: AB = CD.