3. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 5√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение:

Радиус описанной окружности квадрата \( R \) равен половине его диагонали: \( R = \frac{d}{2} \).

По условию \( R = 5\sqrt{2} \).

Диагональ квадрата \( d = 2R = 2 \cdot (5\sqrt{2}) = 10\sqrt{2} \).

Диагональ квадрата связана со стороной \( a \) соотношением \( d = a\sqrt{2} \).

Найдем сторону квадрата:

\[ a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \]

\[ a = 10 \]

Радиус вписанной окружности \( r \) равен половине стороны квадрата:

\[ r = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

Ответ: 5