3. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 22, боковые рёбра равны 61. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь основания: $$S_{осн} = a^2 = 22^2 = 484$$.

Найдем апофему ($$h_a$$) по теореме Пифагора в треугольнике, образованном высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой. Сначала найдем высоту пирамиды ($$h$$). Диагональ основания $$d = a imes ext{sqrt}(2) = 22 imes ext{sqrt}(2)$$. Радиус описанной окружности $$R = d/2 = 11 imes ext{sqrt}(2)$$. В прямоугольном треугольнике с катетами $$h$$ и $$R$$ и гипотенузой - боковым ребром: $$h^2 + R^2 = l^2 ightarrow h^2 + (11 ext{sqrt}(2))^2 = 61^2 ightarrow h^2 + 242 = 3721 ightarrow h^2 = 3479 ightarrow h = ext{sqrt}(3479)$$.

Теперь найдем апофему: $$h_a^2 = h^2 + (a/2)^2 = 3479 + 11^2 = 3479 + 121 = 3600 ightarrow h_a = 60$$.

Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = rac{1}{2} imes P_{осн} imes h_a = rac{1}{2} imes (4 imes 22) imes 60 = rac{1}{2} imes 88 imes 60 = 44 imes 60 = 2640$$.

Полная площадь поверхности: $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 484 + 2640 = 3124$$.