3. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 22, боковые рёбра равны 61. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь основания: $$S_{осн} = a^2 = 22^2 = 484$$.

Найдем апофему ($$h_a$$) по теореме Пифагора в треугольнике, образованном высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой. Сначала найдем высоту пирамиды ($$h$$). Диагональ основания $$d = a\times\text{sqrt}(2) = 22\times\text{sqrt}(2)$$. Радиус описанной окружности $$R = d/2 = 11\times\text{sqrt}(2)$$. В прямоугольном треугольнике с катетами $$h$$ и $$R$$ и гипотенузой - боковым ребром: $$h^2 + R^2 = l^2 \rightarrow h^2 + (11\text{sqrt}(2))^2 = 61^2 \rightarrow h^2 + 242 = 3721 \rightarrow h^2 = 3479 \rightarrow h = \text{sqrt}(3479)$$.

Теперь найдем апофему: $$h_a^2 = h^2 + (a/2)^2 = 3479 + 11^2 = 3479 + 121 = 3600 \rightarrow h_a = 60$$.

Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = \frac{1}{2} \times P_{осн} \times h_a = \frac{1}{2} \times (4 \times 22) \times 60 = \frac{1}{2} \times 88 \times 60 = 44 \times 60 = 2640$$.

Полная площадь поверхности: $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 484 + 2640 = 3124$$.