8. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 3. Найдите объем пирамиды.

Пусть высота пирамиды равна $$h=3$$. Одна боковая грань перпендикулярна основанию. Пусть это грань $$SAD$$. Тогда $$SA$$ является высотой пирамиды, $$SA=3$$. Основание - прямоугольник $$ABCD$$.

Угол наклона боковых граней к основанию равен 60°. Это означает, что угол между апофемой грани и стороной основания равен 60°. Пусть $$AB=a$$ и $$AD=b$$.

В грани $$SAB$$, апофема $$SK$$ (где $$K$$ - середина $$AB$$) наклонена под углом 60° к основанию. В прямоугольном треугольнике $$SAK$$, $$AK = a/2$$. $$SA = AK an(60^ ext{o}) ightarrow 3 = (a/2) imes ext{sqrt}(3) ightarrow a = 6/ ext{sqrt}(3) = 2 ext{sqrt}(3)$$.

В грани $$SBC$$, апофема $$SM$$ (где $$M$$ - середина $$BC$$) наклонена под углом 60° к основанию. В прямоугольном треугольнике $$SAM$$, $$AM = b/2$$. $$SA = AM an(60^ ext{o}) ightarrow 3 = (b/2) imes ext{sqrt}(3) ightarrow b = 6/ ext{sqrt}(3) = 2 ext{sqrt}(3)$$.

Площадь основания: $$S_{осн} = a imes b = (2 ext{sqrt}(3)) imes (2 ext{sqrt}(3)) = 4 imes 3 = 12$$.

Объем пирамиды: $$V = rac{1}{3} imes S_{осн} imes h = rac{1}{3} imes 12 imes 3 = 12$$.