8. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 3. Найдите объем пирамиды.

Пусть высота пирамиды равна $$h=3$$. Одна боковая грань перпендикулярна основанию. Пусть это грань $$SAD$$. Тогда $$SA$$ является высотой пирамиды, $$SA=3$$. Основание - прямоугольник $$ABCD$$.

Угол наклона боковых граней к основанию равен 60°. Это означает, что угол между апофемой грани и стороной основания равен 60°. Пусть $$AB=a$$ и $$AD=b$$.

В грани $$SAB$$, апофема $$SK$$ (где $$K$$ - середина $$AB$$) наклонена под углом 60° к основанию. В прямоугольном треугольнике $$SAK$$, $$AK = a/2$$. $$SA = AK \tan(60^\text{o}) \rightarrow 3 = (a/2) \times \text{sqrt}(3) \rightarrow a = 6/\text{sqrt}(3) = 2\text{sqrt}(3)$$.

В грани $$SBC$$, апофема $$SM$$ (где $$M$$ - середина $$BC$$) наклонена под углом 60° к основанию. В прямоугольном треугольнике $$SAM$$, $$AM = b/2$$. $$SA = AM \tan(60^\text{o}) \rightarrow 3 = (b/2) \times \text{sqrt}(3) \rightarrow b = 6/\text{sqrt}(3) = 2\text{sqrt}(3)$$.

Площадь основания: $$S_{осн} = a \times b = (2\text{sqrt}(3)) \times (2\text{sqrt}(3)) = 4 \times 3 = 12$$.

Объем пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h = \frac{1}{3} \times 12 \times 3 = 12$$.