6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, объем равен 432. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Объем пирамиды: $$V = rac{1}{3} imes S_{осн} imes h$$.

$$432 = rac{1}{3} imes S_{осн} imes 6 ightarrow 432 = 2 imes S_{осн} ightarrow S_{осн} = 216$$.

Так как основание - квадрат, то сторона основания $$a = ext{sqrt}(216) = 6 ext{sqrt}(6)$$.

Найдем боковое ребро ($$l$$) по теореме Пифагора: $$l^2 = h^2 + R^2$$, где $$R$$ - радиус описанной окружности основания. Диагональ основания $$d = a imes ext{sqrt}(2) = 6 ext{sqrt}(6) imes ext{sqrt}(2) = 6 ext{sqrt}(12) = 12 ext{sqrt}(3)$$. $$R = d/2 = 6 ext{sqrt}(3)$$.

$$l^2 = 6^2 + (6 ext{sqrt}(3))^2 = 36 + 36 imes 3 = 36 + 108 = 144 ightarrow l = 12$$.