7. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 6, боковое ребро равно 12. Найдите объём пирамиды.

Площадь правильного шестиугольника: $$S_{осн} = rac{3 ext{sqrt}(3)}{2} a^2 = rac{3 ext{sqrt}(3)}{2} imes 6^2 = rac{3 ext{sqrt}(3)}{2} imes 36 = 54 ext{sqrt}(3)$$.

Найдем высоту пирамиды ($$h$$). Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен стороне основания, $$R=a=6$$. По теореме Пифагора: $$h^2 + R^2 = l^2 ightarrow h^2 + 6^2 = 12^2 ightarrow h^2 + 36 = 144 ightarrow h^2 = 108 ightarrow h = ext{sqrt}(108) = 6 ext{sqrt}(3)$$.

Объем пирамиды: $$V = rac{1}{3} imes S_{осн} imes h = rac{1}{3} imes 54 ext{sqrt}(3) imes 6 ext{sqrt}(3) = 18 ext{sqrt}(3) imes 6 ext{sqrt}(3) = 108 imes 3 = 324$$.