9. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 7, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите объем пирамиды.

Сторона основания $$a=7$$. Радиус описанной окружности $$R=a=7$$. Угол между боковой гранью и основанием равен 45° (это угол апофемы с основанием).

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды ($$h$$), апофемой ($$h_a$$) и половиной стороны основания ($$a/2$$), угол при основании равен 45°. Следовательно, $$h = a/2 = 7/2 = 3.5$$.

Площадь основания: $$S_{осн} = rac{3 ext{sqrt}(3)}{2} a^2 = rac{3 ext{sqrt}(3)}{2} imes 7^2 = rac{3 ext{sqrt}(3)}{2} imes 49 = rac{147 ext{sqrt}(3)}{2}$$.

Объем пирамиды: $$V = rac{1}{3} imes S_{осн} imes h = rac{1}{3} imes rac{147 ext{sqrt}(3)}{2} imes 3.5 = rac{1}{3} imes rac{147 ext{sqrt}(3)}{2} imes rac{7}{2} = rac{147 imes 7 imes ext{sqrt}(3)}{12} = rac{49 imes 7 imes ext{sqrt}(3)}{4} = rac{343 ext{sqrt}(3)}{4}$$.