3. Упростите выражение 7 x²-y² 5 xy-x² 12 x²+xy

Решение:

3. Упростите выражение

\( \frac{7}{x^2-y^2} - \frac{5}{xy-x^2} + \frac{12}{x^2+xy} \)

Разложим знаменатели на множители:

• \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \)
• \( xy - x^2 = x(y-x) = -x(x-y) \)
• \( x^2 + xy = x(x+y) \)

Теперь перепишем выражение с разложенными знаменателями:

\( \frac{7}{(x-y)(x+y)} - \frac{5}{-x(x-y)} + \frac{12}{x(x+y)} \) = \( \frac{7}{(x-y)(x+y)} + \frac{5}{x(x-y)} + \frac{12}{x(x+y)} \)

Общий знаменатель: \( x(x-y)(x+y) \).

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{7 \cdot x}{x(x-y)(x+y)} + \frac{5 \cdot (x+y)}{x(x-y)(x+y)} + \frac{12 \cdot (x-y)}{x(x-y)(x+y)} \]

Сложим числители:

\[ \frac{7x + 5(x+y) + 12(x-y)}{x(x-y)(x+y)} = \frac{7x + 5x + 5y + 12x - 12y}{x(x-y)(x+y)} = \frac{(7x+5x+12x) + (5y-12y)}{x(x-y)(x+y)} = \frac{24x - 7y}{x(x-y)(x+y)} \]

Ответ: \( \frac{24x-7y}{x(x-y)(x+y)} \).