3. Вычислите: a). $$\frac{6^{15} · 6^{11}}{6^{24}}$$; б). $$\frac{3^{11} · 27}{9^6}$$

Решение:

а)

1. Воспользуемся свойством степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе: \( 6^{15} \cdot 6^{11} = 6^{15+11} = 6^{26} \)
2. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{6^{26}}{6^{24}} \)
3. Воспользуемся свойством степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 6^{26-24} = 6^2 \)
4. Вычислим результат: \( 6^2 = 36 \)

б)

1. Представим числа 27 и 9 в виде степени тройки: \( 27 = 3^3 \) и \( 9 = 3^2 \)
2. Подставим эти значения в выражение: \( \frac{3^{11} \cdot 3^3}{(3^2)^6} \)
3. Воспользуемся свойством степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) в знаменателе: \( (3^2)^6 = 3^{2 \cdot 6} = 3^{12} \)
4. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{3^{11} \cdot 3^3}{3^{12}} \)
5. Воспользуемся свойством степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе: \( 3^{11} \cdot 3^3 = 3^{11+3} = 3^{14} \)
6. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{3^{14}}{3^{12}} \)
7. Воспользуемся свойством степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 3^{14-12} = 3^2 \)
8. Вычислим результат: \( 3^2 = 9 \)

Ответ: а) 36; б) 9.