3. Вычислите предел функции: lim (4x⁵+2x-3)/(x⁵-8) при x→∞.

Решение:

Чтобы вычислить предел функции \( \lim_{x\to\infty} \frac{4x^5+2x-3}{x^5-8} \), разделим числитель и знаменатель на старшую степень \( x \), то есть на \( x^5 \):

\[ \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{4x^5}{x^5}+\frac{2x}{x^5}-\frac{3}{x^5}}{\frac{x^5}{x^5}-\frac{8}{x^5}} = \lim_{x\to\infty} \frac{4+\frac{2}{x^4}-\frac{3}{x^5}}{1-\frac{8}{x^5}} \]

При \( x \to \infty \), члены вида \( \frac{c}{x^k} \) (где \( k > 0 \)) стремятся к нулю. Таким образом:

\[ \frac{4+0-0}{1-0} = \frac{4}{1} = 4 \]

Ответ: 4.