8. Решите систему уравнений: (log₃ x + log₃ y = 3, log₁/₃ x + log₃ y = 1.

Решение:

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 3 \\ \log_{1/3} x + \log_3 y = 1 \end{cases} \]

1. Из первого уравнения, используя свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \), получим: \( \log_3 (xy) = 3 \).
2. Переведем логарифмическое уравнение в показательное: \( xy = 3^3 \), то есть \( xy = 27 \).
3. Во втором уравнении заменим \( \log_{1/3} x \) на \( \log_{3^{-1}} x \). Используя свойство \( \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b \), получим \( \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_3 x = -\log_3 x \).
4. Тогда второе уравнение примет вид: \( -\log_3 x + \log_3 y = 1 \).
5. Теперь у нас есть система из двух уравнений: \( \begin{cases} xy = 27 \\ -\log_3 x + \log_3 y = 1 \end{cases} \)
6. Из \( xy = 27 \) выразим \( y = \frac{27}{x} \).
7. Подставим это выражение во второе уравнение: \( -\log_3 x + \log_3 \left(\frac{27}{x}\right) = 1 \).
8. Используя свойство \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \), получим: \( -\log_3 x + (\log_3 27 - \log_3 x) = 1 \).
9. Так как \( \log_3 27 = 3 \), имеем: \( -\log_3 x + 3 - \log_3 x = 1 \).
10. Соберем подобные члены: \( -2\log_3 x = 1 - 3 \), то есть \( -2\log_3 x = -2 \).
11. Разделим на -2: \( \log_3 x = 1 \).
12. Переведем в показательное уравнение: \( x = 3^1 = 3 \).
13. Теперь найдем \( y \), подставив \( x=3 \) в \( xy=27 \): \( 3y = 27 \), откуда \( y = 9 \).
14. Проверим корни в исходной системе:

Первое уравнение: \( \log_3 3 + \log_3 9 = 1 + 2 = 3 \) (верно).

Второе уравнение: \( \log_{1/3} 3 + \log_3 9 \). \( \log_{1/3} 3 \) — это степень, в которую нужно возвести \( 1/3 \), чтобы получить 3. \( (1/3)^x = 3 \) => \( 3^{-x} = 3^1 \) => \( -x = 1 \) => \( x = -1 \). Таким образом, \( -1 + 2 = 1 \) (верно).

Ответ: \( x = 3, y = 9 \).