4. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -1/3 t³ + 6t² - 11, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 2 м/с?

Решение:

1. Скорость материальной точки — это первая производная от её положения по времени: \( v(t) = x'(t) \).
2. Найдем производную от \( x(t) \): \( v(t) = \frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{3}t^3 + 6t^2 - 11\right) = -\frac{1}{3} \cdot 3t^2 + 6 \cdot 2t = -t^2 + 12t \) м/с.
3. По условию задачи, скорость равна 2 м/с. Приравняем функцию скорости к 2: \( -t^2 + 12t = 2 \).
4. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( -t^2 + 12t - 2 = 0 \) или \( t^2 - 12t + 2 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 144 - 8 = 136 \).
6. Найдем корни: \( t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{136}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{34}}{2} = 6 \pm \sqrt{34} \).
7. Оба значения времени \( t_1 = 6 + \sqrt{34} \) и \( t_2 = 6 - \sqrt{34} \) являются положительными, так как \( \sqrt{34} \) приблизительно равно 5.83, что меньше 6.

Ответ: \( 6 \pm \sqrt{34} \) секунд.