7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=4x³-3, y=0, x=1, x=2.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = f(x) \), осью \( Ox \) и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_a^b |f(x)| dx \]

В данном случае \( f(x) = 4x^3 - 3 \), \( a = 1 \), \( b = 2 \). Проверим знак функции на интервале \( [1, 2] \):

• При \( x = 1 \), \( y = 4(1)^3 - 3 = 4 - 3 = 1 \).
• При \( x = 2 \), \( y = 4(2)^3 - 3 = 4(8) - 3 = 32 - 3 = 29 \).

На всем интервале \( [1, 2] \) функция \( y = 4x^3 - 3 \) положительна, поэтому \( |f(x)| = f(x) \).

\[ S = \int_1^2 (4x^3 - 3) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ \frac{4x^4}{4} - 3x \right]_1^2 = \left[ x^4 - 3x \right]_1^2 \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ S = ((2)^4 - 3(2)) - ((1)^4 - 3(1)) = (16 - 6) - (1 - 3) = 10 - (-2) = 10 + 2 = 12 \]

Ответ: 12.