3. Выразите векторы a и b через векторы i и j (рис. 4.5). Найдите такие числа t, s, для которых: а) AC = t·AB + s·AD; б) AD = t·AB + s·AD.

По клеткам на рис. 4.5: вектор \(\mathbf i\) направлен на 2 клетки вправо, а \(\mathbf j\) — на 2 клетки вверх. Считаем перемещения каждого вектора по горизонтали и вертикали.

1. Вектор \(\mathbf a\) направлен на 2 клетки вправо и на 3 вверх, поэтому \(\mathbf a=\mathbf i+\frac{3}{2}\mathbf j\).
2. Вектор \(\mathbf b\) направлен на 4 клетки вниз, поэтому \(\mathbf b=-2\mathbf j\).

В треугольнике на рис. 4.6 точка N — середина AC, а точка K — середина AB. Поэтому \(\overrightarrow{AN}=\frac12\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AK}=\frac12\overrightarrow{AB}\). Также \(\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{AB}-\frac12\overrightarrow{AC}\).

1. а) \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AN}\), значит \(t=0,\ s=2\).
2. б) \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\). По рисунку для нужного разложения подразумеваются векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) в обеих частях равенства, то есть \(\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AD}\). Это тождество при \(t=0,\ s=1\).

Ответ: \(\mathbf a=\mathbf i+\frac32\mathbf j\), \(\mathbf b=-2\mathbf j\); для а) \(t=0, s=2\), для б) \(t=0, s=1\).