313. Решить уравнение: 1) (log₂ x)² − 9 log₈ x = 4; 2) 16(log₁₆ x)² + 3 log₄ x − 1 = 0; 3) (log₃ x)² + 5 log₉ x − 1,5 = 0; 4) (log₃ x)² − 15 log₂₇ x + 6 = 0.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Пусть y = log₂ x. Так как log₈ x = y/3, получаем y² − 3y − 4 = 0, то есть (y − 4)(y + 1) = 0. Поэтому x = 16 или x = 1/2.
Пусть y = log₄ x. Тогда log₁₆ x = y/2. Уравнение принимает вид 4y² + 3y − 1 = 0; его корни — 1/4 и −1. Значит, x = 2 или x = 1/4.
Пусть y = log₃ x. Тогда log₉ x = y/2. Получаем y² + 5y/2 − 3/2 = 0, или 2y² + 5y − 3 = 0. Отсюда y = 1/2 или y = −3, поэтому x = √3 или x = 1/27.
Пусть y = log₃ x. Тогда log₂₇ x = y/3. Получаем y² − 5y + 6 = 0, то есть (y − 2)(y − 3) = 0. Поэтому x = 9 или x = 27.

Ответ: 1) 1/2, 16; 2) 1/4, 2; 3) 1/27, √3; 4) 9, 27.