32. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что BD₁=2AD. Найдите угол между диагоналями DB₁ и AC₁. Ответ дайте в градусах.

Обозначим сторону квадратного основания через a, высоту призмы — через h. Тогда AD=a, а из прямоугольного треугольника BDD₁ получаем:

\(BD_1^2=2a^2+h^2=(2a)^2\), поэтому \(h^2=2a^2\).

Векторы диагоналей можно задать координатами: \(\overrightarrow{DB_1}=(a,-a,h)\), \(\overrightarrow{AC_1}=(a,a,h)\). Их скалярное произведение равно \(h^2=2a^2\), а длина каждого равна \(\sqrt{2a^2+h^2}=2a\).

Следовательно, \(\cos\varphi=\frac{2a^2}{(2a)(2a)}=\frac12\), откуда \(\varphi=60^\circ\).

Ответ: 60°.