33. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что D₁B=2AB. Найдите угол между диагоналями BD₁ и CA₁. Ответ дайте в градусах.

Пусть сторона основания равна a, высота призмы — h. По условию \(D_1B=2a\). Из прямоугольного треугольника с катетами \(a\), \(a\) и \(h\): \(2a^2+h^2=4a^2\), значит, \(h^2=2a^2\).

Возьмём направленные вдоль диагоналей векторы: \(\overrightarrow{BD_1}=(-a,a,h)\) и \(\overrightarrow{CA_1}=(-a,-a,h)\). Их скалярное произведение равно \(h^2=2a^2\), а длина каждого — \(2a\).

Поэтому \(\cos\varphi=\frac{2a^2}{4a^2}=\frac12\), откуда угол между диагоналями равен \(60^\circ\).

Ответ: 60°.