344. Решить уравнение: 1) log₄((x + 2)(x + 3)) + log₄((x − 2)/(x + 3)) = 2; 2) log₂((x − 1)/(x + 4)) + log₂((x − 1)(x + 4)) = 2; 3) log₃ x² − log₃(x/(x + 6)) = 3; 4) log₂((x + 4)/x) + log₂ x² = 5.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

ОДЗ: оба аргумента логарифмов положительны. Объединяем: log₄((x + 2)(x − 2)) = 2, поэтому x² − 4 = 16 и x = ±2√5. Оба значения удовлетворяют исходной ОДЗ.
ОДЗ: (x − 1)/(x + 4) > 0 и (x − 1)(x + 4) > 0. Объединяем логарифмы: log₂((x − 1)²) = 2, откуда (x − 1)² = 4 и x = 3 или x = −1. При x = −1 аргументы логарифмов отрицательны; остаётся x = 3.
ОДЗ: x > 0 или x < −6. Объединяем разность логарифмов: log₃(x(x + 6)) = 3. Тогда x² + 6x = 27, то есть (x − 3)(x + 9) = 0. Оба корня, 3 и −9, входят в ОДЗ.
ОДЗ: x > 0 или x < −4. Объединяем логарифмы: log₂(x(x + 4)) = 5. Получаем x² + 4x = 32, или (x − 4)(x + 8) = 0. Оба корня, 4 и −8, входят в ОДЗ.

Ответ: 1) ±2√5; 2) 3; 3) 3 и −9; 4) 4 и −8.