4) \((1+\operatorname{tg}a)(1+\operatorname{ctg}a)-\frac{1}{\sin a\cdot\cos a}=2\)

Учитываем область допустимых значений: \(\sin a\ne0\) и \(\cos a\ne0\).

Раскроем скобки и применим определения тангенса и котангенса:

\((1+\operatorname{tg}a)(1+\operatorname{ctg}a)=2+\operatorname{tg}a+\operatorname{ctg}a\).

\(\operatorname{tg}a+\operatorname{ctg}a=\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{1}{\sin a\cos a}\).

Следовательно, левая часть равна \(2+\frac{1}{\sin a\cos a}-\frac{1}{\sin a\cos a}=2\).

Ответ: равенство верно при \(a\ne\frac{\pi k}{2}\), \(k\in\mathbb Z\).