4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК=8, DK=24, BC=18. Найдите AD.

Решение:

Данная задача решается с помощью теоремы о пересекающихся хордах (или секущих, если рассматривать точки пересечения прямых AB и CD с окружностью).

1. Свойство секущих: Если две секущие, исходящие из одной точки, пересекают окружность в точках A, B и C, D соответственно, то произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей: $$KA  KB = KC  KD$$.
2. Рассматриваем точки: Точка К является точкой пересечения продолжений сторон AB и CD.
3. Применяем теорему: Из условия имеем $$BK = 8$$ и $$DK = 24$$. Мы также знаем $$BC = 18$$. Нам нужно найти $$AD$$.
4. Записываем равенство: $$KA  KB = KC  KD$$.
5. Выражаем отрезки: $$KA = KB - AB$$ (если K лежит вне отрезка AB) или $$KA = AB - KB$$ (если A лежит между K и B). Из рисунка следует, что K, B, A лежат на одной прямой в таком порядке, и K, D, C лежат на другой прямой. Следовательно, $$KA = KB + BA$$. И $$KC = KD + DC$$.
6. Используем подобие треугольников: Треугольники KBC и KAD подобны, так как угол K общий, а углы KBC и KAD равны как углы, опирающиеся на одну дугу (угол между хордой и касательной, если бы она была, или как углы вписанного четырехугольника, которые в сумме дают 180, но здесь более прямое подобие). Угол KBC = угол KAD (если смотреть на дугу DC). Угол KCB = угол KDA (если смотреть на дугу AB).
7. Соотношение сторон подобных треугольников: $$\frac{KA}{KD} = \frac{KB}{KC} = \frac{AD}{BC}$$.
8. Подставляем известные значения: $$KB = 8$$, $$BC = 18$$, $$DK = 24$$.
9. Вычисляем KC: $$KC = KD + DC = 24 + 18 = 42$$.
10. Находим KA: Из подобия $$\frac{KA}{KD} = \frac{KB}{KC}$$, имеем $$\frac{KA}{24} = \frac{8}{42}$$. $$KA = \frac{8  24}{42} = \frac{192}{42} = \frac{32}{7}$$.
11. Находим AD: Из подобия $$\frac{KB}{KC} = \frac{AD}{BC}$$, имеем $$\frac{8}{42} = \frac{AD}{18}$$. $$AD = \frac{8  18}{42} = \frac{144}{42} = \frac{24}{7}$$.

Ответ: 24/7