4. \(\ctg\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}=0\)

Переносим слагаемое: \(\ctg\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\). Это равносильно \( g\frac{x}{2}=-\sqrt{3}\).

Тогда \(\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{3}+\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

Умножаем на 2: \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\).

Ответ: \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\).