4. Докажите, что верно равенство (x-y)(x+y)-(a-x+y)(a-x-y)-a(2x-a)=0.

Решение:

Раскроем скобки:

1. \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \)
2. \( -(a-x+y)(a-x-y) \). Пусть \( (a-x) = z \). Тогда \( -(z+y)(z-y) = -(z^2 - y^2) = -z^2 + y^2 \). Подставим \( z \) обратно: \( -(a-x)^2 + y^2 = -(a^2 - 2ax + x^2) + y^2 = -a^2 + 2ax - x^2 + y^2 \).
3. \( -a(2x-a) = -2ax + a^2 \)

Сложим полученные выражения:

\( (x^2 - y^2) + (-a^2 + 2ax - x^2 + y^2) + (-2ax + a^2) \)

\( x^2 - y^2 - a^2 + 2ax - x^2 + y^2 - 2ax + a^2 = 0 \)

Все члены сокращаются.

Равенство доказано.