4. Идеальный газ находится в сосуде под поршнем при температуре 800 К и давлении \( p_0 = 10^5 \) Па. На графике зависимости давления \( p \) газа от его плотности \( \rho \) изображен процесс перехода этого газа из состояния 1 в состояние 2. Определите температуру газа в состоянии 2. Ответ дайте в кельвинах.

Решение:

Для идеального газа справедливо уравнение Менделеева-Клапейрона: \( PV = \frac{m}{M} RT \), где \( P \) — давление, \( V \) — объем, \( m \) — масса, \( M \) — молярная масса, \( R \) — универсальная газовая постоянная, \( T \) — температура.

Плотность \( \rho = \frac{m}{V} \).

Перепишем уравнение Менделеева-Клапейрона через плотность: \( P \cdot \frac{m}{\rho} = \frac{m}{M} RT \). Сокращая массу \( m \) (так как она постоянна), получаем: \( \frac{P}{\rho} = \frac{RT}{M} \).

Следовательно, \( \frac{P}{\rho} = \text{const} \cdot T \).

Это означает, что температура пропорциональна отношению \( \frac{P}{\rho} \).

Из графика видно, что в состоянии 1: \( P_1 = p_0 = 10^5 \text{ Па} \), \( \rho_1 = \rho_0 \).

В состоянии 2: \( P_2 = 2 p_0 = 2 +^5 \text{ Па} \), \( \rho_2 = 2 \rho_0 \).

Начальная температура \( T_1 = 800 \text{ К} \).

Отношение \( \frac{P}{\rho} \) в состоянии 1: \( \frac{P_1}{\rho_1} = \frac{p_0}{\rho_0} \).

Отношение \( \frac{P}{\rho} \) в состоянии 2: \( \frac{P_2}{\rho_2} = \frac{2 p_0}{2 \rho_0} = \frac{p_0}{\rho_0} \).

Так как \( \frac{P_1}{\rho_1} = \frac{P_2}{\rho_2} \), то температура газа в обоих состояниях одинакова: \( T_1 = T_2 \).

Ответ: 800 К