4. На сторонах AB и BC вовне построили квадраты ABKL и CBNT. Докажите, что отрезок KN в два раза больше медианы BM треугольника ABC.

Пусть M — середина AC. Рассмотрим поворот на 90° с центром B. Векторы BK и BN получаются из векторов BA и BC поворотом на одинаковый угол в одну сторону (квадраты построены вовне на сторонах AB и BC). Поэтому вектор KN является повёрнутым вектором AC, а его длина равна AC. Здесь в записи квадратов соответствующие вершины K и N — внешние вершины, и разность их радиус-векторов равна повороту вектора BA + BC. Поскольку BM = (BA + BC)/2, получаем KN = |BA + BC| = 2BM.

Доказано: KN = 2BM.