4. Найдите значение выражения \( \frac{pq}{p+q} \cdot \left( \frac{q-p}{q} - \frac{p}{q} \right) \) при \( p = 3 - 2\sqrt{2}, q = -2\sqrt{2} \).

Решение:

Сначала упростим вторую часть выражения в скобках:

\( \frac{q-p}{q} - \frac{p}{q} = \frac{q-p-p}{q} = \frac{q-2p}{q} \)

Теперь всё выражение:

\( \frac{pq}{p+q} \cdot \frac{q-2p}{q} \)

Сократим \( q \):

\( \frac{p}{p+q} \cdot (q-2p) \)

Подставим значения \( p = 3 - 2\sqrt{2} \) и \( q = -2\sqrt{2} \).

\( p+q = (3 - 2\sqrt{2}) + (-2\sqrt{2}) = 3 - 4\sqrt{2} \)

\( q-2p = (-2\sqrt{2}) - 2(3 - 2\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} - 6 + 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 6 \)

Теперь подставим в полученное выражение:

\( \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 - 4\sqrt{2}} \cdot (2\sqrt{2} - 6) \)

\( \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 - 4\sqrt{2}} \cdot (-2)(3 - 2\sqrt{2}) \)

Сократим \( (3 - 2\sqrt{2}) \):

\( \frac{-2}{3 - 4\sqrt{2}} \)

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю \( 3 + 4\sqrt{2} \):

\( \frac{-2(3 + 4\sqrt{2})}{(3 - 4\sqrt{2})(3 + 4\sqrt{2})} = \frac{-6 - 8\sqrt{2}}{3^2 - (4\sqrt{2})^2} = \frac{-6 - 8\sqrt{2}}{9 - (16 \cdot 2)} = \frac{-6 - 8\sqrt{2}}{9 - 32} = \frac{-6 - 8\sqrt{2}}{-23} = \frac{6 + 8\sqrt{2}}{23} \)

Ответ: \( \frac{6 + 8\sqrt{2}}{23} \)