9. Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, BC = 2, AD = 5, АС = 28. Найдите АО.

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями BC || AD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Треугольники \( \triangle BOC \) и \( \triangle DOA \) подобны по двум углам:

• \( \angle BOC = \angle DOA \) (вертикальные углы).
• \( \angle OCB = \angle OAD \) (накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей AC).

Из подобия следует соотношение сторон:

\( \frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OA} = \frac{BO}{OD} \)

Нам дано:

• \( BC = 2 \)
• \( AD = 5 \)
• \( AC = 28 \)

Пусть \( OA = x \). Тогда \( OC = AC - OA = 28 - x \).

Подставим в соотношение:

\( \frac{2}{5} = \frac{28 - x}{x} \)

Решим уравнение:

\( 2x = 5(28 - x) \)

\( 2x = 140 - 5x \)

\( 2x + 5x = 140 \)

\( 7x = 140 \)

\( x = \frac{140}{7} \)

\( x = 20 \)

Значит, \( OA = 20 \).

Ответ: 20