4. Преобразуйте в многочлен стандартного вида: а) \( (7x+3y)(3y-7x) \) б) \( 3b(4-5b)-(b-2)^2 \)

Решение:

а) \( (7x+3y)(3y-7x) \)

Воспользуемся формулой разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \), предварительно переставив члены во втором множителе:

\[ (3y+7x)(3y-7x) = (3y)^2 - (7x)^2 \]

\[ = 9y^2 - 49x^2 \]

б) \( 3b(4-5b)-(b-2)^2 \)

Сначала раскроем скобки:

Раскроем первое произведение:

\[ 3b(4-5b) = 12b - 15b^2 \]

Раскроем квадрат разности \( (b-2)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 = b^2 - 4b + 4 \).

Теперь подставим раскрытые выражения обратно в исходное:

\[ (12b - 15b^2) - (b^2 - 4b + 4) \]

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные:

\[ 12b - 15b^2 - b^2 + 4b - 4 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ (-15b^2 - b^2) + (12b + 4b) - 4 \]

\[ -16b^2 + 16b - 4 \]

Ответ: а) \( 9y^2 - 49x^2 \); б) \( -16b^2 + 16b - 4 \).