4. Тип 17 № 311455 Найдите угол АВС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.

Решение:

В равнобедренной трапеции ABCD (AB || CD), AC — диагональ. Дано: \( ∠ CAD = 30^\circ \) и \( ∠ ACD = 80^\circ \).

Рассмотрим \( ∠ ADC \) в \( △ ADC \): \( ∠ ADC = ∠ CAD + ∠ ACD = 30^\circ + 80^\circ = 110^\circ \).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Углы \( ∠ DAB \) и \( ∠ ADC \) — углы при основании AD. Следовательно, \( ∠ DAB = ∠ ADC = 110^\circ \).

Однако, на рисунке показано, что \( ∠ ADC \) — тупой угол, а \( ∠ DAB \) — острый. Это значит, что AD — меньшее основание.

Пусть AD — большее основание, а BC — меньшее.

\( ∠ CAD = 30^\circ \), \( ∠ ACD = 80^\circ \).

В трапеции ABCD, AB || CD. \( ∠ ACD = ∠ CAB = 80^\circ \) (как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей AC).

\( ∠ DAB = ∠ CAD + ∠ CAB = 30^\circ + 80^\circ = 110^\circ \).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Углы \( ∠ DAB \) и \( ∠ ABC \) — углы при основании AB. Нет, это углы при основании AD.

Рассмотрим, что AD и BC — основания. AB || CD.

\( ∠ CAD = 30^\circ \), \( ∠ ACD = 80^\circ \).

В \( △ ADC \), \( ∠ ADC = 180^\circ - (30^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны. Если AD — основание, то \( ∠ DAB = ∠ ADC = 70^\circ \). Это противоречит рисунку, где \( ∠ ADC \) больше \( ∠ DAB \).

Значит, AD и BC — основания, и AD — меньшее основание, BC — большее.

\( ∠ CAD = 30^\circ \), \( ∠ ACD = 80^\circ \).

\( ∠ ACB = ∠ CAD = 30^\circ \) (как накрест лежащие углы при параллельных AD и BC и секущей AC).

\( ∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = 30^\circ + 80^\circ = 110^\circ \).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. \( ∠ ABC \) и \( ∠ BCD \) — углы при основании BC.

Значит, \( ∠ ABC = ∠ BCD = 110^\circ \).

Ответ: 110°.