5. Тип 17 № 311457 Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

Решение:

В равнобедренной трапеции ABCD, AC — диагональ. Дано: \( ∠ ACB = 30^\circ \) и \( ∠ ACD = 105^\circ \).

\( ∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = 30^\circ + 105^\circ = 135^\circ \).

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны. \( ∠ BCD \) и \( ∠ ABC \) — углы при основании BC.

Следовательно, \( ∠ ABC = ∠ BCD = 135^\circ \).

\( ∠ ACB = 30^\circ \). Так как BC || AD, то \( ∠ CAD = ∠ ACB = 30^\circ \) (как накрест лежащие углы).

В \( △ ADC \) сумма углов равна 180°.

\( ∠ ADC + ∠ CAD + ∠ ACD = 180^\circ \).

\( ∠ ADC + 30^\circ + 105^\circ = 180^\circ \).

\( ∠ ADC + 135^\circ = 180^\circ \).

\( ∠ ADC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \).

\( ∠ ADC \) и \( ∠ DAB \) — углы при основании AD.

Значит, \( ∠ DAB = ∠ ADC = 45^\circ \).

Углы трапеции: 45°, 135°, 135°, 45°. Меньший угол равен 45°.

Ответ: 45°.