9. Тип 17 № 323800 Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями BC = 4 и AD = 10. Пусть MN — средняя линия трапеции, где M — середина AB, N — середина CD.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: \( MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7 \).

Пусть диагональ AC пересекает среднюю линию MN в точке P.

Рассмотрим \( △ ADC \). N — середина CD, NP || AD. По теореме Фалеса, NP делит сторону AC в той же пропорции, что и сторону CD. Следовательно, P — середина AC.

NP является средней линией \( △ ADC \), параллельной основанию AD. Длина NP равна половине основания AD: \( NP = \frac{AD}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).

Аналогично, рассмотрим \( △ ABC \). M — середина AB, MP || BC. Следовательно, MP является средней линией \( △ ABC \), параллельной основанию BC. Длина MP равна половине основания BC: \( MP = \frac{BC}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

Средняя линия MN разбивается диагональю AC на отрезки MP и PN.

Длины отрезков: MP = 2, PN = 5.

Больший из отрезков равен 5.

Ответ: 5.