4. Упростите выражение: а) $\frac{\sqrt m}{\sqrt[18]{m}\cdot\sqrt[9]{m}}$; б) $\sqrt[7]{\frac{128z^3}{\sqrt[3]{z^2}}}$; в) $\sqrt[4]{80a^3b^6}\cdot\sqrt[4]{\frac15a^4b^{10}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Упростите выражение: а) $\frac{\sqrt m}{\sqrt[18]{m}\cdot\sqrt[9]{m}}$; б) $\sqrt[7]{\frac{128z^3}{\sqrt[3]{z^2}}}$;…$ Фото задания

4. Упростите выражение: а) $\frac{\sqrt m}{\sqrt[18]{m}\cdot\sqrt[9]{m}}$; б) $\sqrt[7]{\frac{128z^3}{\sqrt[3]{z^2}}}$; в) $\sqrt[4]{80a^3b^6}\cdot\sqrt[4]{\frac15a^4b^{10}}$.

Accepted Answer

а) Для действительных корней требуется $m>0$. Представим корни степенями:

\[\frac{m^{1/2}}{m^{1/18}m^{1/9}}=m^{1/2-1/18-1/9}=m^{1/3}=\sqrt[3]{m}.\]

б) Для определения выражения необходимо $z\ge 0$ и $z\ne0$, то есть $z>0$. Тогда

\[\sqrt[7]{\frac{128z^3}{\sqrt[3]{z^2}}}=\sqrt[7]{128z^{3-2/3}}=\sqrt[7]{2^7z^{7/3}}=2\sqrt[3]{z}.\]

в) Объединим корни одной степени:

\[\sqrt[4]{80a^3b^6}\cdot\sqrt[4]{\frac15a^4b^{10}}=\sqrt[4]{16a^7b^{16}}=2|a|\,|b|^4\sqrt[4]{a^3}.\]

Для исходных действительных корней нужно $a^3b^6\ge0$ и $a^4b^{10}\ge0$. При ненулевых переменных это означает $a>0$; при $a=0$ или $b=0$ выражение также определено. При $a\ge0$ результат можно записать как $2a\sqrt[4]{b^{16}}\sqrt[4]{a^3}=2a|b|^4\sqrt[4]{a^3}$.

Ответ: а) $\sqrt[3]{m}$, при $m>0$; б) $2\sqrt[3]{z}$, при $z>0$; в) $2a|b|^4\sqrt[4]{a^3}$, при допустимых значениях исходного выражения.

4. Упростите выражение: а) \(\frac{\sqrt m}{\sqrt[18]{m}\cdot\sqrt[9]{m}}\); б) \(\sqrt[7]{\frac{128z^3}{\sqrt[3]{z^2}}}\); в) \(\sqrt[4]{80a^3b^6}\cdot\sqrt[4]{\frac15a^4b^{10}}\).

Ответ: