8. Внести множитель под знак корня: а) \(\frac53\sqrt[3]{54}\); б) \(mn\sqrt[8]{m^4n^3}\), если \(m<0\).

а) Поскольку множитель \(\frac53\) положителен, вносим его в кубический корень в третьей степени:

\[\frac53\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{\left(\frac53\right)^3\cdot54}=\sqrt[3]{250}.\]

б) Подкоренное выражение требует \(m^4n^3\ge0\), откуда при \(m<0\) следует \(n\ge0\). Если \(n=0\), выражение равно нулю. При \(n>0\) множитель \(mn<0\), поэтому знак минус сохраняется снаружи, а модуль множителя вносим под корень:

\[mn\sqrt[8]{m^4n^3}=-\sqrt[8]{(mn)^8m^4n^3}=-\sqrt[8]{m^{12}n^{11}}.\]

Ответ: а) \(\sqrt[3]{250}\); б) \(-\sqrt[8]{m^{12}n^{11}}\) (при допустимых значениях; при \(n=0\) результат равен 0).