4. Упростите выражение: \(\left(\dfrac{3\sqrt3+1}{\sqrt3-1}+\sqrt3\right)\cdot\dfrac{1}{\sqrt3+1}\). Варианты ответа: 1) 2; 2) \(\dfrac{2}{\sqrt3+1}\); 3) \(\sqrt3+2\); 4) \(\sqrt3-1\).

Рационализируем первую дробь:

\(\dfrac{3\sqrt3+1}{\sqrt3-1}=\dfrac{(3\sqrt3+1)(\sqrt3+1)}{3-1}=\dfrac{10+4\sqrt3}{2}=5+2\sqrt3\).

Тогда выражение равно \(\dfrac{5+3\sqrt3}{\sqrt3+1}\). Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt3-1\):

\(\dfrac{(5+3\sqrt3)(\sqrt3-1)}{2}=\dfrac{4+2\sqrt3}{2}=2+\sqrt3\).

Ответ: вариант 3) \(\sqrt3+2\).