4. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Для выбора капитана есть 11 вариантов (любой из 11 человек).

После выбора капитана, для выбора заместителя остается 10 вариантов (любой из оставшихся 10 человек).

Так как порядок выбора важен (капитан и заместитель — это разные роли), мы используем формулу для размещений.

Количество способов выбрать капитана и заместителя равно произведению количества вариантов для каждого выбора:

\[ 11 \times 10 = 110 \]

Или, используя формулу размещений $$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$, где $$n=11$$ (общее количество человек) и $$k=2$$ (количество выбираемых ролей):

\[ A_{11}^2 = \frac{11!}{(11-2)!} = \frac{11!}{9!} = \frac{11 \times 10 imes 9!}{9!} = 11 \times 10 = 110 \]

Ответ: 110