4. В коробке 7 красных и 3 синих шара. Случайным образом из коробки извлекают 5 шаров. Какова вероятность события «среди извлеченных не более 3 красных шаров»?

Решение:

Всего шаров в коробке: \( 7 \text{ красных} + 3 \text{ синих} = 10 \) шаров.

Извлекают 5 шаров. Общее число способов извлечь 5 шаров из 10 равно числу сочетаний \( C_{10}^5 \).

\[ C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252 \]

Событие «среди извлеченных не более 3 красных шаров» означает, что количество красных шаров может быть 0, 1, 2 или 3.

Но так как всего 7 красных шаров и мы извлекаем 5, количество красных шаров может быть от 0 до 5. Однако, общее количество синих шаров — 3. Если мы извлечем 5 шаров, то максимальное количество красных шаров будет 5 (если все 3 синих извлечены) или 4 (если 1 синий извлечен) или 3 (если 2 синих извлечены), или 2 (если 3 синих извлечены).

Рассмотрим, сколько красных шаров может быть:

1. 0 красных, 5 синих: Невозможно, так как всего 3 синих шара.

2. 1 красный, 4 синих: Невозможно, так как всего 3 синих шара.

3. 2 красных, 3 синих: Число способов \( C_7^2 \times C_3^3 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} \times 1 = 21 \times 1 = 21 \).

4. 3 красных, 2 синих: Число способов \( C_7^3 \times C_3^2 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times 3 = 35 \times 3 = 105 \).

5. 4 красных, 1 синий: Число способов \( C_7^4 \times C_3^1 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times 3 = 35 \times 3 = 105 \).

6. 5 красных, 0 синих: Число способов \( C_7^5 \times C_3^0 = C_7^2 \times 1 = 21 \times 1 = 21 \).

Событие «не более 3 красных шаров» означает, что количество красных шаров может быть 0, 1, 2 или 3. Но с учетом количества синих шаров, это означает, что у нас может быть:

• 2 красных и 3 синих
• 3 красных и 2 синих

Число благоприятных исходов = \( 21 + 105 = 126 \).

Вероятность события = \( \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{126}{252} = \frac{1}{2} = 0.5 \).

Ответ: 0.5