5. Игральный кубик бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось ровно два броска? Ответ округлите до тысячных.

Решение:

Событие «для этого потребовалось ровно два броска» означает, что сумма очков после первого броска была меньше или равна 3, а сумма после второго броска стала больше 3.

Возможные исходы первого броска:

• Выпало 1 очко (сумма \( < 3 \)).
• Выпало 2 очка (сумма \( < 3 \)).
• Выпало 3 очка (сумма \( = 3 \)).

Возможные исходы второго броска, при которых сумма превысит 3:

Случай 1: Первый бросок - 1 очко (вероятность \( P(1) = 1/6 \)).

Чтобы сумма превысила 3, во втором броске должно выпасть 3, 4, 5 или 6 очков. Вероятность этого \( P(> 3 | 1) = 4/6 = 2/3 \).

Вероятность такого исхода (1, затем \( > 3 \)) = \( P(1) \times P(> 3 | 1) = \frac{1}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{4}{36} \).

Случай 2: Первый бросок - 2 очка (вероятность \( P(2) = 1/6 \)).

Чтобы сумма превысила 3, во втором броске должно выпасть 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Вероятность этого \( P(> 3 | 2) = 5/6 \).

Вероятность такого исхода (2, затем \( > 3 \)) = \( P(2) \times P(> 3 | 2) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{36} \).

Случай 3: Первый бросок - 3 очка (вероятность \( P(3) = 1/6 \)).

Чтобы сумма превысила 3, во втором броске должно выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Вероятность этого \( P(> 3 | 3) = 6/6 = 1 \).

Вероятность такого исхода (3, затем \( > 3 \)) = \( P(3) \times P(> 3 | 3) = \frac{1}{6} \times \frac{6}{6} = \frac{6}{36} \).

Общая вероятность того, что сумма превысила 3 ровно за два броска, равна сумме вероятностей этих случаев:

\( P(\text{ровно 2 броска}) = \frac{4}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{36} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \).

Округлим до тысячных:

\( \frac{5}{12} = 0.41666... = 0.417 \).

Ответ: 0.417