6. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

Для данной задачи будем использовать формулу Бернулли для нахождения вероятности выпадения k орлов при n бросках симметричной монеты:

\[ P_n(k) = C_n^k \times p^k \times (1-p)^{n-k} \]

где \( n \) — количество испытаний (бросков монеты), \( k \) — количество успехов (выпадений орла), \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (для симметричной монеты \( p = 0.5 \)).

В нашем случае \( n = 10 \) и \( p = 0.5 \).

1. Вероятность выпадения ровно 5 орлов (k = 5):

\[ P_{10}(5) = C_{10}^5 \times (0.5)^5 \times (0.5)^{10-5} = C_{10}^5 \times (0.5)^{10} \]

Вычислим \( C_{10}^5 \):

\[ C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252 \]

\[ P_{10}(5) = 252 \times (0.5)^{10} \]

2. Вероятность выпадения ровно 4 орла (k = 4):

\[ P_{10}(4) = C_{10}^4 \times (0.5)^4 \times (0.5)^{10-4} = C_{10}^4 \times (0.5)^{10} \]

Вычислим \( C_{10}^4 \):

\[ C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210 \]

\[ P_{10}(4) = 210 \times (0.5)^{10} \]

3. Найдем, во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»:

\[ \frac{P_{10}(5)}{P_{10}(4)} = \frac{252 \times (0.5)^{10}}{210 \times (0.5)^{10}} = \frac{252}{210} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{252}{210} = \frac{252 ÷ 42}{210 ÷ 42} = \frac{6}{5} = 1.2 \]

Ответ: в 1.2 раза