4. В окружность с центром в точке О вписан угол ВАС, равный 30°. ВС = а. Найдите площадь треугольника ВОС.

Анализ задачи:

1. Свойства вписанного угла: Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
2. Определение центрального угла: Угол BOC — центральный угол, опирающийся на ту же дугу BC, что и вписанный угол BAC.
3. Вычисление центрального угла: ∠BOC = 2 * ∠BAC = 2 * 30° = 60°.
4. Рассмотрим треугольник BOC:
• OB = OC (радиусы окружности).
• Следовательно, треугольник BOC — равнобедренный.
• Так как ∠BOC = 60°, то треугольник BOC является равносторонним.
• Таким образом, OB = OC = BC = a.
5. Вычисление площади равностороннего треугольника: Площадь равностороннего треугольника со стороной 's' вычисляется по формуле: $$S = (s^2 * √3) / 4$$.
6. Подстановка значения стороны: В нашем случае, сторона равна 'a'. $$S_{BOC} = (a^2 * √3) / 4$$.

Ответ: K = (a²√3)/ 4