9. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) ∠B = β, AC = b. Найдите радиус описанной вокруг треугольника окружности.

Краткое пояснение:

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Гипотенуза является диаметром описанной окружности.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике ABC, гипотенузой является сторона AB, так как она лежит напротив прямого угла ∠C.
2. Шаг 2: По теореме Фалеса (или свойству описанной окружности), центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.
3. Шаг 3: Следовательно, гипотенуза AB является диаметром описанной окружности.
4. Шаг 4: Радиус описанной окружности (R) равен половине диаметра, то есть половине гипотенузы: \( R = rac{AB}{2} \).
5. Шаг 5: Найдем длину гипотенузы AB, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Мы знаем противолежащий катет AC = b и угол ∠B = β.
6. Шаг 6: Используем синус угла β: \( ext{sin}(β) = rac{ ext{противолежащий катет}}{ ext{гипотенуза}} = rac{AC}{AB} \).
7. Шаг 7: Подставим известные значения: \( ext{sin}(β) = rac{b}{AB} \).
8. Шаг 8: Выразим длину гипотенузы AB: \( AB = rac{b}{ ext{sin}(β)} \).
9. Шаг 9: Теперь найдем радиус описанной окружности: \( R = rac{AB}{2} = rac{rac{b}{ ext{sin}(β)}}{2} = rac{b}{2 ext{sin}(β)} \).

Ответ: rac{b}{2 ext{sin}(β)}