8. В прямоугольную трапецию ABCD вписана окружность (AD и BC — основания); CD ⊥ AD, ∠A = 30°. Периметр трапеции равен 24 см. Чему равны стороны AB и CD?

Краткое пояснение:

В прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, сумма боковых сторон равна сумме оснований. Также, если в трапецию вписана окружность, то высота равна диаметру этой окружности. Из этого следует, что боковая сторона CD равна двум радиусам, то есть высоте.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим основания трапеции как AD = a и BC = b, боковые стороны как CD = c и AB = d.
2. Шаг 2: Так как в трапецию вписана окружность, то сумма противоположных сторон равна: \( a + b = c + d \).
3. Шаг 3: Трапеция прямоугольная, и CD является высотой, так как CD ⊥ AD.
4. Шаг 4: В прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, высота равна диаметру вписанной окружности. Обозначим радиус окружности как r. Тогда высота CD = 2r.
5. Шаг 5: Также, в прямоугольной трапеции, если провести высоту из вершины B к основанию AD (назовем ее BH), то BH = CD = 2r. Отрезок AH = BC = b.
6. Шаг 6: В прямоугольном треугольнике ABH (где ∠BHA = 90°), имеем: ∠A = 30°, BH = 2r, AB = d.
7. Шаг 7: Используем тригонометрию для связи сторон: \( ext{sin}(30°) = rac{BH}{AB} \).
8. Шаг 8: \( rac{1}{2} = rac{2r}{d} \), откуда \( d = 4r \).
9. Шаг 9: Теперь подставим это в условие суммы сторон: \( a + b = c + d \) \( a + b = 2r + 4r = 6r \).
10. Шаг 10: Периметр трапеции равен 24 см: \( a + b + c + d = 24 \).
11. Шаг 11: Заменим \( a+b \) и \( c+d \) на выражения через r: \( 6r + 6r = 24 \) \( 12r = 24 \) \( r = 2 \).
12. Шаг 12: Теперь найдем стороны: CD = c = 2r = 2 * 2 = 4 см.
13. Шаг 13: AB = d = 4r = 4 * 2 = 8 см.
14. Шаг 14: Найдем основания: \( a + b = 6r = 6 imes 2 = 12 \).
15. Шаг 15: Для полноты, найдем сами основания. В трапеции ABCD, проведем высоту BH. Тогда AH = b, HD = a-b. Треугольник ABH: BH=4, AB=8. AH = √{AB^2 - BH^2} = √{8^2 - 4^2} = √{64-16} = √48 = 4√3. Тогда a-b = 4√3.
16. Шаг 16: У нас система: \( a+b = 12 \), \( a-b = 4 ext{√}3 \). Сложим уравнения: \( 2a = 12 + 4 ext{√}3 \) \( a = 6 + 2 ext{√}3 \). Вычтем: \( 2b = 12 - 4 ext{√}3 \) \( b = 6 - 2 ext{√}3 \).

Ответ: AB = 8 см, CD = 4 см