4. Знайдіть найбільше та найменше значення функції f(x) = 2x3 - 9х2 + 3 на проміжку [1; 4 ].

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 3 \):
   \( f'(x) = 6x^2 - 18x \)
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
   \( 6x^2 - 18x = 0 \)
   \( 6x(x - 3) = 0 \)
   Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 3 \).
3. Проверим, какие из критических точек попадают в заданный промежуток \( [1; 4] \). Точка \( x = 0 \) не входит в промежуток. Точка \( x = 3 \) входит в промежуток.
4. Вычислим значения функции на концах промежутка и в критической точке, попадающей в промежуток:
   
   • \( f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 3 = 2 - 9 + 3 = -4 \)
   • \( f(3) = 2(3)^3 - 9(3)^2 + 3 = 2(27) - 9(9) + 3 = 54 - 81 + 3 = -24 \)
   • \( f(4) = 2(4)^3 - 9(4)^2 + 3 = 2(64) - 9(16) + 3 = 128 - 144 + 3 = -13 \)
5. Сравним полученные значения: -4, -24, -13.

Ответ: Наибольшее значение функции равно -4 (при \( x=1 \)), наименьшее значение функции равно -24 (при \( x=3 \)).