9. Знайдіть площу трикутника АВС, якщо А(1; 3; - 1), B(1; - 1; 4), C (2; 3; -1)

Пошаговое решение:

1. Найдем векторы, образующие две стороны треугольника, например, \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):
   \( \vec{AB} = (1 - 1; -1 - 3; 4 - (-1)) = (0; -4; 5) \)
   \( \vec{AC} = (2 - 1; 3 - 3; -1 - (-1)) = (1; 0; 0) \)
2. Найдем векторное произведение \( \vec{AB} \times \vec{AC} \):
   \( \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -4 & 5 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} \)
   \( = \mathbf{i}((-4)(0) - (5)(0)) - \mathbf{j}((0)(0) - (5)(1)) + \mathbf{k}((0)(0) - (-4)(1)) \)
   \( = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(4) = 0\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 4\mathbf{k} = (0; 5; 4) \)
3. Найдем модуль вектора, полученного в результате векторного произведения:
   \( |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 25 + 16} = \sqrt{41} \)
4. Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:
   \( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{41} \)

Ответ: Площадь треугольника АВС равна \( \frac{\sqrt{41}}{2} \).