7. Дано вектори т (1; -4; -3) і п (5;p; -15). При якому значенні р вектори т і п: а) колінеарні; б) перпендикулярні.

Пошаговое решение:

1. а) Коллинеарность векторов:
   Векторы \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) коллинеарны, если существует такое число k, что \( \vec{n} = k \vec{m} \).
   \( (5; p; -15) = k(1; -4; -3) = (k; -4k; -3k) \)
   Приравниваем соответствующие координаты:
   
   • \( 5 = k \)
   • \( p = -4k \)
   • \( -15 = -3k \)
   Из первого и третьего уравнений получаем \( k = 5 \). Подставляем \( k=5 \) во второе уравнение:
   \( p = -4(5) = -20 \).
2. б) Перпендикулярность векторов:
   Векторы \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 0 \).
   \( (1)(5) + (-4)(p) + (-3)(-15) = 0 \)
   \( 5 - 4p + 45 = 0 \)
   \( 50 - 4p = 0 \)
   \( 4p = 50 \)
   \( p = \frac{50}{4} = \frac{25}{2} = 12.5 \).

Ответ: а) Векторы коллинеарны при \( p = -20 \); б) Векторы перпендикулярны при \( p = 12.5 \).