5. Дослідіть функцію f(x) = 3x4 - 6x2 і побудуйте її графік.

Исследование функции \( f(x) = 3x^4 - 6x^2 \):

• Область определения: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \) (многочлен).
• Четность/нечетность: \( f(-x) = 3(-x)^4 - 6(-x)^2 = 3x^4 - 6x^2 = f(x) \). Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.
• Точки пересечения с осями:
  • С осью Oy: \( x=0 \) \( \Rightarrow f(0) = 3(0)^4 - 6(0)^2 = 0 \). Точка \( (0, 0) \).
  • С осью Ox: \( 3x^4 - 6x^2 = 0 \) \( \Rightarrow 3x^2(x^2 - 2) = 0 \).
    \( x^2 = 0 \) \( \Rightarrow x = 0 \) (дважды).
    \( x^2 - 2 = 0 \) \( \Rightarrow x^2 = 2 \) \( \Rightarrow x = \pm\sqrt{2} \).
    Точки пересечения: \( (0, 0) \), \( (-\sqrt{2}, 0) \), \( (\sqrt{2}, 0) \).
• Производная и интервалы монотонности:
  \( f'(x) = 12x^3 - 12x = 12x(x^2 - 1) = 12x(x-1)(x+1) \).
  Критические точки: \( x = -1, x = 0, x = 1 \).
  
  • \( x < -1 \): \( f'(x) < 0 \) (убывает)
  • \( -1 < x < 0 \): \( f'(x) > 0 \) (возрастает)
  • \( 0 < x < 1 \): \( f'(x) < 0 \) (убывает)
  • \( x > 1 \): \( f'(x) > 0 \) (возрастает)
• Экстремумы:
  • \( x = -1 \): \( f(-1) = 3(-1)^4 - 6(-1)^2 = 3 - 6 = -3 \) (минимум).
  • \( x = 0 \): \( f(0) = 0 \) (максимум).
  • \( x = 1 \): \( f(1) = 3(1)^4 - 6(1)^2 = 3 - 6 = -3 \) (минимум).
• Асимптоты: Отсутствуют (многочлен).

График функции: