431. Точка K — середина медианы AM треугольника ABC. Прямая BK пересекает сторону AC в точке D. Докажите, что AD = 1/3 AC.

Обозначим точку пересечения медианы AM со стороной BC через M. Выберем координаты: A = (0, 0), C = (1, 0), B = (u, v). Тогда M = ((u + 1)/2, v/2), а поскольку K — середина AM, K = ((u + 1)/4, v/4).

Точка на прямой BK имеет вид B + t(K − B). Её вторая координата равна v(1 − 3t/4). На AC вторая координата равна нулю, поэтому t = 4/3. Подстановка в первую координату даёт x = 1/3.

Значит, D = (1/3, 0), откуда AD = 1/3 AC.

Ответ: AD = 1/3 AC.