432. Точки M и N — середины сторон AD и BC параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и MC делят диагональ BD на три равные части.

Пусть O — пересечение AN с BD, а P — пересечение MC с BD. Введём координаты: A = (0, 0), B = (1, 0), D = (0, 1), C = (1, 1). Тогда N = (1, 1/2), M = (0, 1/2).

Диагональ BD задаётся точками (1 − t, t). На прямой AN координаты имеют вид (s, s/2). Приравнивая их координатам BD, получаем t = s/2 и 1 − t = s, откуда t = 1/3. Значит, BO = 1/3 BD.

По симметрии относительно центра параллелограмма пересечение P соответствует параметру t = 2/3, поэтому BP = 2/3 BD. Следовательно, отрезки диагонали между B, O, P и D равны.

Ответ: AN и MC делят BD на три равные части.